ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Сохранить/поделиться:
Какие ошибки допускают выпускники на ЕГЭ по профильной математике чаще всего? Рекомендации репетитора в последние дни перед ЕГЭ

Это статья написана в первую очередь для выпускников, которые совсем скоро пойдут на важный и ответственный бой, называемый единым государственным экзаменом. От исхода этого поединка зависит дальнейший вектор развития. Но прошу Вас, не думайте, что от результатов зависит вся ваша жизнь. Экзамен – это лишь рубеж, испытание, которое нужно пройти с высоко поднятой головой.

Я достаточно давно и интенсивно занимаюсь подготовкой абитуриентов к единому государственному экзамену по математике и физике. После экзамена ребята активно делятся впечатлениями, когда приходят результаты – отправляют сканы работ, которые я внимательно изучаю. И я вижу, что из года в год ребята теряют баллы на вполне конкретных заданиях.  И чтобы Ваши потери на экзамене на фоне волнения были минимальными, давайте разберем типичные ошибки ученика на ЕГЭ.

1) Уравнения с квадратным корнем

 \sqrt{2x+6}=-x

Не забывайте про ограничения!!! Вообще говоря можно наложить ограничения и на подкоренное  выражение и на правую часть:

 \begin{cases} 2x+6\geq0 \\ -x\geq0 \end{cases}

 \begin{cases} x\geq-3 \\ x\le0 \end{cases}

… но если решаете возведением обеих частей в квадрат, то первое неравенство избыточно.
Как альтернатива, выполните проверку, подставив полученные корни в уравнение. Составители очень часто ловят на этом задании, провоцируют указать именно тот корень, который не удовлетворяет ограничениям.
Ограничения актуальны и для обычных дробных уравнений такого вида:

 \frac{2x-8}{3x-11}=\frac{6}{x^2}

 \begin{cases} 3x-11\neq0 \\ x^2\neq0 \end{cases}

 \begin{cases} x\neq\frac{11}{3} \\ x\neq0 \end{cases}

Ну и конечно, куда без ограничений при решении логарифмических уравнений:

 \log_7{\left(x^2+3x\right)}=\log_7{\left(49\right)}

Напоминаю, что аргумент логарифма должен быть СТРОГО БОЛЬШЕ НУЛЯ:

x^2+3x>0

Ну а если Вы имеете дело с логарифмом с переменным основанием

\log_{x+6}{\left(32\right)}=5

то не забудьте, что основание должно быть положительным и не равняться единице.

 \begin{cases} x+6>0 \\ x+6\neq1 \end{cases}

2) Планиметрия
Что касается планиметрии, советую повторить:
1. Формулы для расчета площадей все фигур. Не забудьте повторить, как находится длина дугового сектора и площадь сектора, на всякий случай. Хотя встречаются на ЕГЭ они не так часто.
2. Помните, что медиана в прямоугольном треугольнике не только делит гипотенузу пополам, но и равна половине гипотенузы.

BO=\frac{AC}{2}

3. Повторите свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных. Расписав отношения сторон всех подобных треугольников Вы придете к формулам:

 BH^2=AH\cdot\ HC

{AB}^2=AH\cdot\ AC

 BC^2=AC\cdot\ HC

4. Повторите теоремы синусов и косинусов. Теорема синусов бывает весьма полезна для нахождения радиуса описанной окружности

Теорема синусов:

\frac{a}{\sin{\left(\angle A\right)}}=\frac{b}{\sin{\left(\angle B\right)}}=\frac{C}{\sin{\left(\angle C\right)}}=2R

Теорема косинусов:

a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos{\left(\angle BAC\right)}

5. Из года в год найдется ученик, который забудет формулу для расчета радиуса вписанной окружности. А она ведь такая простая!

S=pr

И работает не только для треугольников, но и для четырехугольников, пятиугольников и так далее. Не забудьте, что в формуле берется ПОЛУПЕРИМЕТР, а S – это площадь фигуры, а не круга!

3) Немного поговорим про преобразование выражений. Чаще всего ребята ошибаются именно в тригонометрии при использовании формул приведения.

Напоминаю алгоритм:

1. Определяем номер четверти, в которой лежит угол.

2. Определяем знак функции. Напоминаю, что знак смотрится по исходной функции.

3. Не забываем, что в точках \frac{\pi}{2} и \frac{3\pi}{2} функция меняется на ко-функцию, то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и т.д.

Для лучшего понимания приведу пример

Упростить ctg{\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}, где \alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)

Шаг 1: Определяем четверть
\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\ \epsilon\ IV четв.


Шаг 2: Определяем знак исходной функции в данной четверти. Знак \ctg{(\ldots)} в IV четв. будет отрицательным.
Шаг 3: Так как в выражении есть \frac{3\pi}{2}, то ctg{(\ldots)} заменим на tg{(\ldots)}. В итоге получим ctg{\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}=-tg\left(\alpha\right)

4) Переходим к стереометрии. Тут советы будут аналогичны советам по планиметрии. Повторите все формулы объемов фигур и площадей поверхностей, особенно шара. Легче всего эта формула запоминается, если вы запомните, что площадь поверхности шара – это производная от его объема.

V=\frac{4}{3}\pi r^3

S=(V(r))'=(4/3 \pi r^3 )'= 4/3\cdot 3 \pi r^2=4\pi r^2

Если Вы имеете дело с комбинацией тел, то внимательно несколько раз прочитайте условие задачи. Цилиндр вписан в призму или описан около призмы, параллелепипед вписан в цилиндр или описан около цилиндра и так далее. Советую держать в голове картинки:
Это – пример призмы, описанной около цилиндра

А это – пример призмы, вписанной в цилиндр

Ну а теперь поговорим о самых распространенных ошибках в стереометрии первой части:
1. Угол между двумя прямыми всегда не более 90 градусов.
Пример:

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}, все рёбра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и D_{1}E_{1}. Ответ дайте в градусах.

Большая часть ребят проводит прямую D_{1}C_{1}, параллельную FA и берут угол E_{1}D_{1}C_{1}, тем самым получая ответ в 120 градусов. Но это не правильно. Брать нужно смежный угол, который будет равен 60 градусов.

2. Ошибки в применении коэффициента подобия

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем этой призмы, если объём отсеченной призмы равен 20.

Классический пример – призма и плоскость проведенная через среднюю линию треугольника, лежащего в основании. Ребята полагают, что отношение объемов малой призмы к большой призме равно кубу коэффициента подобия, который в нашем случае равен ½. Но это не так. Отличаются эти призмы только основанием, а вот высоты одинаковы. Следовательно, отношение объемов будет равно отношению площадей оснований. А это квадрат коэффициента подобия.

3. Ошибки в расчете площадей поверхностей составных многогранников.
Классическая проблема в данном случае заключается в том, что ребята достраивают фигуру до куба или параллелепипеда. В этом случае возникает опасность либо посчитать лишнюю поверхность, либо потерять нужную.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Возможно это немного дольше, но я советую посчитать площадь каждого прямоугольника по отдельности и сложить все значения.

5) График функции и её производной. Наше счастье и наша боль. Мне кажется, эта задача напоминает квест на внимательность. Прежде чем записывать ответ в бланк, советую внимательно несколько раз прочитать задание и для себя ответить на вопрос: я имею дело с графиком функции или ее производной.
1. Если Вы имеете дело с графиком самой функции, то помните, что точки экстремума – это точки, где функция переходит с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Точки пересечения графика с осью х ничего не означают.
Для примера предлагаю рассмотреть следующую функцию:

Там, где функция возрастает (зелёные стрелки), производная функции положительна, а там, где функция убывает (красные стрелки), производная функции отрицательная. Производная равна нулю в точках экстремума   x_1,x_2,x_3,x_4 .

2. Если на экзамене Вам попалась производная функции, то помните: там, где график лежит выше оси х, функция возрастает, там, где график лежит ниже оси х – функция убывает, а точки пересечения графика с осью х-это точки экстремума.

x_1,x_2,x_3 – т. экстремума, x_1,x_3 – т. max, x_2 – т. min

3. Внимательно посмотрите на касательную к графику функции. Если она возрастает, значит значение производной положительно, если убывает-отрицательно.

tg\left({180}^0-\alpha\right)=-tg{\left(\alpha\right)}=-\frac{AB}{BC}=-\frac{2}{8}=-0,25

НЕ ТЕРЯЙТЕ МИНУС В ОТВЕТЕ!

6) Текстовые задачи тоже довольно часто становятся камнем преткновения у выпускников. Советую повторить формулы для суммы арифметической прогрессии, связь концентрации и массы раствора, производительности и работы.
Любимая ошибка выпускников находить среднюю скорость как среднее арифметическое. Не делайте так! Средняя скорость – это общий путь, деленный на общее время.

v_{cp}=s_{общ}/t_{общ}=(s_1+s_2)/(\frac{s_1}{v_1} +\frac{s_2}{v_2} )

A=P\cdot\ t  (Работа = Производительность \cdot Время)

S=v\cdot\ t (Путь = Скорость \cdot Время)

Mкислоты=n∙Mраствора

Формула n-го члена арифметической прогрессии:
a_n=a_1+\left(n-1\right)d
Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n вычисляется по формуле: s_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)}{2}\cdot\ n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot\ n

Достаточно тяжело идут у ребят задачи на проценты такого вида:

В 2000 году диван подешевел на 7 процентов, в 2001 подорожал на 8 процентов. Конечная цена 25000 рублей. Найти начальную стоимость.

Советую начальную стоимость обозначить за х, тогда в 2000 году стоимость дивана станет (х-0.07х) =0.93 х рублей, а в 2001 году стоимость будет равна 0.93х*1.08 рублей, которая будет равна 25000 рублей. Можно, конечно, идти с конца, но тогда у ребят возникают сложности, что какую величину обозначить за 100 процентов, что за 107 процентов или может быть за 93 процента.

7) Графики функций. Для правильного выполнения данного номера я советую Вам повторить , какие коэффициенты в функции отвечают за смещение графика вправо или влево, какие вверх или вниз, повторить формулу для расчета вершины параболы x_0=\frac{-b}{2a} .
Если у Вас функция вида f\left(x\right)=b+\log_a{\left(x\right)}, то коэффициент b отвечает за смещение графика функции вверх или вниз.

А здесь – график с положительным коэффициентом b, равным 2:

Если же Ваш график имеет вид f\left(x\right)=\log_a{\left(x+b\right)}, то вы должны понимать, что при положительном значении b ваш график смещается влево, а при отрицательном значении b вправо.

Абсолютно аналогично и с графиками показательной функции.
Если вы имеете дело с графиком вида f\left(x\right)=a^x+b , то при положительном b график смещается вверх, при отрицательном b вниз.
На первом графике пример отрицательного коэффициента b, на втором графике пример положительного b.

Ну и не забывайте о графиках показательной функции вида f\left(x\right)=a^{x+b} . Здесь коэффициент b отвечает за смещение графика функции вправо или влево.

Если вдруг у Вас на экзамене все эти смещения туда-сюда вылетели их головы, то берите одну-две-три точки (по ситуации), подставляйте в уравнение функции и находите нужные Вам коэффициенты.

И хотелось бы напомнить , что основание логарифма и основание показательной функции МОГУТ БЫТЬ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

8) Ну и нельзя оставить без внимания задания на нахождение точек максимума и минимума и на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Тут советов будет несколько:

1) Повторите таблицу производных функций и вспомните формулы для производной частного и произведения.

2) Если Вам нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, содержащей логарифм, например y=\ln{\left(x+5\right)^5}-5x, то в большинстве случаев это значение достигается при таком х, когда логарифм обращается в нуль, а число под логарифмом рано единице. В данном случае точка экстремума равна -4. Именно в этой точке достигается наименьшее значение функции.

3) Если Вы имеете дело с иррациональной функцией, например y=\sqrt{x^2-6x+11}, то точка экстремума может быть найдена с помощью формулы для расчета вершины параболы. Одним словом, координата вершины параболы это и есть точка экстремума.

4) Теперь поговорим о показательных и логарифмических функциях. Если график возрастающий, то есть основание больше единицы, например y=2^{x^2+2x+5}, то  экстремум (в данном случае минимум) достигается в вершине квадратичной функции x^2+2x+5. Ну а подставив точку минимума в саму функцию, Вы имеете все шансы быстро и легко найти наименьшее значение.

С логарифмической функцией дела обстоят аналогичным образом. Давайте рассмотрим функцию вида y=\log_5{\left(4-2x-x^2\right)}+3. Основание больше единицы и равно 5. Значит функция возрастающая. Смотрим внимательно на аргумент под логарифмом. Он представляет собой квадратичную функцию, графиком является парабола с ветвями вниз. Найдя вершину параболы по формуле xверш=-b/(2a), вы найдете точку экстремума, в данном случае максимума, ну а подставив ее в саму функцию, вы найдите ее наибольшее значение. И для полноты картины, предлагаю рассмотреть убывающую логарифмическую функцию y=\log_\frac{1}{3}{\left(x^2+6x+12\right)} с основанием меньше единицы и равным 1/3. Подлогарифмическое выражение также представляет собой параболу с ветвями вверх. Найдя вершину параболы, вы найдите точку минимума, а подставив ее в саму функцию, вы получите наибольшее значение функции.

PS: Наверное, многие задумались, почему, подставляя точки минимума, мы получаем наибольшее значение. Ответ прост – если Ваша функция убывающая, то чем больше аргумент, тем меньше значение самой функции.

9) В своей статье я совсем не затронула задачи на вероятность. Думаю, со вторым номером из кимов справляются практически все. А вот 10 номер такой непредсказуемый, столько интересных и новых задач. И каждая задача не похожа на предыдущую… Здесь сложно дать какой-либо совет. Проработайте задачи из открытого банка ФИПИ, с сайта Решу ЕГЭ, посмотрите свежие сборники 2022 года, варианты Статграда.

Я постаралась очень кратко пробежаться по основным ошибкам выпускников. Если Вам эта статья будет хоть на 0,01 процента будет полезна, то значит, писалась она не зря.

PS: Хотелось бы выразить благодарность Филину Арсению Андреевичу за ценные замечания и помощь в публикации. Он опытный преподаватель, выпускник Физфака МГУ, в прошлом призер олимпиад Физтех и Ломоносов.
Ну а если Вы хотите повторить все темы перед экзаменом, обобщить знания, проработать свои ошибки и узнать еще больше подводных камней, смело могу порекомендовать финальный курс по математике, который будет проводить сам Арсений. Старт 17 мая.

 

Сохранить/поделиться:
Интенсивы к ЕГЭ от ЗФТШ МФТИ и GrandExam:
  • Небольшие группы

    Чтобы каждый был услышан

  • Учителя от ЗФТШ МФТИ

    С большим опытом преподавания и научной работы

  • 37 ак. часов

    7 дней занятий, по 240 минут каждое

  • Скидка по купону

    - 1000 руб. по купону KursAgent-1000

Ближайшие вебинары

Предметы

Уровень

Past and Future Events

октябрь

Нет подходящих событий в эту дату

Получать расписание

Каждое утро мы рассылаем единое расписание бесплатных вебинаров от всех онлайн-школ. Попробуйте, это полезно:

Последние посты

Если у вас есть собственный полезный текст, вы можете опубликовать его в этом блоге:

Больше статей:

0
Как обосновывать критерии в новой 30-ой задаче ЕГЭ по физике
1

Сделал файл со всеми шаблонами обоснований в новой 30ой задаче ЕГЭ по физике - лучше поздно, чем никогда

0
ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
0

Какие ошибки допускают выпускники на ЕГЭ по профильной математике чаще всего? Рекомендации репетитора в последние дни перед ЕГЭ

0
ПОСТУПЛЕНИЕ-2022: ДАТЫ, КОТОРЫЕ НАДО ЗНАТЬ!
2

Какие даты – ключевые для поступления в этом году? Почему не стоит нести в вуз аттестат раньше времени и как поступать в разные города.

1
Подготовиться к ЕГЭ по информатике за 2 месяца более чем реально! Главные этапы и советы от стобалльника
1

ЕГЭ по информатике уже скоро, поэтому уже давно пора начать готовиться. Все зависит от твоего начального уровня, но иногда достаточно и 2 месяцев, чтобы ...

1
Медаль или ЕГЭ – придется выбирать
5

На примере своих учеников расскажу, почему медалистам и отличникам иногда так сложно готовиться к ЕГЭ

Show next
We will be happy to hear your thoughts

      Оставить комментарий

      Сравнить курсы
      • Total (0)
      Сравнить
      0
      Shopping cart